Подключите к этим выводам эл. конденсатор (порядка 100 uF), встаньте на него осциллографом и включив питание померьте время, пока уровень не поднимется до 1 В. Если полученное время в несколько раз меньше необходимого, то это означает, что mute по включению надо делать не на банальном конденсаторе, а чуть сложнее.

Это навряд ли. До этого был сходный усилитель, но с другим чипом, таких проблем не было, с этими же настройками питания в ОС.

Добавлено after 14 minutes 30 seconds:
Ещё увидел: при подаче питания, убирать землю со 2-ноги нужно после того, как загорится индикатор на плате, тогда без щелчка.

Не вопрос - значит надо взять этот сигнал с индикатора.
Как включен индикатор? Светодиод с резистором. Померьте напряжения и покажите это место на плате.

add
Если правильно читаю трассы, светодиод на землю. А значит, там 0 при включении и 1 потом. Остается момерить напряжение на выводе резистора и если оно подходящее, просто подать на CTRL.
Да, еще вот что - надо бы померить ток входа. Переключите тестер на предел тока мка и померьте ток с цепи №2 на землю (т.е. ток между двумя проводами в предыдущем исследовании).

Судя по недавним сообщениям я вообще склонен винить синезуб.
Вы уверены, что "щелчки" это производная усилителя, а не предвариловки?

"Навряд ли" можно сказать если бы это был Ti или Analog Devices. У китайцев же все строго перпендикулярно здравому смыслу. Вы знаете, какая прошивка у этого Bt модуля?
Может он прошит так, что при отсутствии сигнала утаскивает усилитель в спящий режим, а так как контроллер в этих модулях тупой как пробка, выходить из него он может вообще не мгновенно.

Так просто не получится. Светодиод начинает мигать при воспроизведении. Как сигнал, для отсоединения земли - можно.